Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，如图所示．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点A与椭圆上的另一点C（非右顶点）关于直线l对称，直线l上一点N（0，y₀）满足

NA

•

NC

=0，求点C的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由已知条件得A（-a，0），B（0，b），F（1，0），由

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，推导出b²-a-1=0，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）先求出l的方程，可得N的坐标，再利用

NA

•

NC

=0，即可求点C的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，A（-a，0），B（0，b），F（1，0），
∵

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，
∴b²-a-1=0，
∵b²=a²-1，∴a²-a-2=0，解得a=2，
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）设C（x₁，y₁）（y₁≠0），且A（-2，0），则AC的中点M（

x1-2

2

，

y1

2

），
由已知k_AC=

y1

x1+2

，则k_l=-

x1+2

y1

，
∴l：y-

y1

2

=-

x1+2

y1

（x-

x1-2

2

），
令x=0，则y₀=

x12-4+y12

2y1

=-

y1

6

，
即N（0，-

y1

6

），
∴

NA

•

NC

=（-2，

y1

6

）•（x₁，

7y1

6

）=-2x₁+

7y12

36

=0，
∴7x₁²+96x₁-28=0
∴x₁=

2

7

（x₁=-14舍去），
∴y₁=±

12

7

，
∴C（

2

7

，±

12

7

）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．