Question

13．已知sin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{5}{13}$，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，求cos2θ，cos（$\frac{π}{4}$+θ）的值．

Answer 1

分析 由条件求出cos（$\frac{π}{4}$-θ），再由cos2θ=sin2（$\frac{π}{4}$-θ）=2sin（$\frac{π}{4}$-θ）cos（$\frac{π}{4}$-θ）可求值，进一步解得cosθ，sinθ的值，代入数据即可得到答案．

解答 解：由于：sin（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{5}{13}$，0＜θ＜$\frac{π}{4}$，
则：0＜$\frac{π}{4}$-θ＜$\frac{π}{4}$，cos（$\frac{π}{4}$-θ）=$\frac{12}{13}$．
则：cos2θ=sin2（$\frac{π}{4}$-θ）=2sin（$\frac{π}{4}$-θ）cos（$\frac{π}{4}$-θ）=2×$\frac{5}{13}$×$\frac{12}{13}$=$\frac{120}{169}$，
由cos2θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ=$\frac{120}{169}$，
解得：cosθ=$\frac{17\sqrt{2}}{26}$，sinθ=$\frac{7\sqrt{2}}{26}$，
可得：cos（$\frac{π}{4}$+θ）=cos$\frac{π}{4}$cosθ-sin$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}×$$\frac{17\sqrt{2}}{26}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{26}$=$\frac{5}{13}$．

点评 本题考查同角的平方关系和诱导公式及二倍角的正弦公式的运用，考查运算能力和转化思想，属于中档题．