Question

8．已知函数f（x）=log₂[x²-2（2a-1）x+8]，a∈R．
（1）若f（x）在（a，+∞）内为增函数，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=1-$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（x+3）在[1，3]内有唯一实数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在（a，+∞﹚上为增函数，可得$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤a}\\{{a}^{2}-2a（2a-1）+8≥0}\end{array}\right.$，即可求实数a的取值范围；
（2）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即4a=x+$\frac{2}{x}$，x∈[1，3]，由双勾图形，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）在（a，+∞﹚上为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤a}\\{{a}^{2}-2a（2a-1）+8≥0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{4}{3}$≤a≤1；
（2）原方可化为x²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即4a=x+$\frac{2}{x}$，x∈[1，3]，由双勾图形可知：3＜4a≤$\frac{11}{3}$或4a=2$\sqrt{2}$，
即$\frac{3}{4}$＜a≤$\frac{11}{12}$或a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查方程解的研究，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．