Question

13．如图，矩形FCEB是圆柱OO₁的轴截面，且FC=1，FB=2，点A、D分别在上下底面圆周上，且在面FCEB的同侧，△OAB是等边三角形，∠ECD=60°，M、N分别是OC、AE的中点．
（1）求证：MN∥面CDE；
（2）求二面角C-AD-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由∠ECD=∠BOA=60°，得OA∥CD，且OA=CD，从而四边形CDAO是平行四边形，取AD中点G，连结MG、NG，推导出平面MGN∥面CDE，由此能证明MN∥面CDE．
（2）以C为原点，在平面CDE是过C作CE的垂线为x轴，CE为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AD-E的余弦值．

解答 证明：（1）如图，由∠ECD=∠BOA=60°，得OA∥CD，且OA=CD，
∴四边形CDAO是平行四边形，
取AD中点G，连结MG、NG，则MG∥CD，NG∥DE，MG∩NG=G，
∴平面MGN∥面CDE，
∵MN?面MNG，∴MN∥面CDE．
解：（2）以C为原点，在平面CDE是过C作CE的垂线为x轴，CE为y轴，CF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵FC=1，FB=2，∴C（0，0，0），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，1），E（0，2，0），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{DA}$=（0，1，1），$\overrightarrow{DE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
设平面CAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-3，3$），
同理，得到平面ADE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，-1$），
设二面角C-AD-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{21}•\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{105}}{35}$，
∴二面角C-AD-E的余弦值为$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．