Question

1．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则该双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程为y=±$\frac{x}{a}$，进而由直线垂直的性质分析可得有$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，解可得a的值，由双曲线的几何性质可得c的值，进而有双曲线的离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{x}{a}$，
又由双曲线的一条渐近线与直线2x+y-3=0即y=-2x+3垂直，
则有$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$，
即a=2，
又由b=1，则c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键掌握双曲线的渐近线方程．