Question

5．在平面直角坐标系xOy中，动点S到点F（1，0）的距离与到直线x=2的距离的比值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求动点S的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是x轴上的一个动点，过P作斜率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的直线l交轨迹E于A，B两点，求证：|PA|²+|PB|²为定值．

Answer 1

分析 （I）根据椭圆第二定义列方程组解出；
（II）求出直线的参数方程，代入椭圆方程化简，根据参数的几何意义和根与系数的关系计算：|PA|²+|PB|²．

解答 解：（I）由椭圆的定义可知动点S的轨迹为以F为右焦点，以直线x=2为准线的椭圆，
设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{{a}^{2}}{c}=2}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=2，b²=1，
∴轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（II）证明：设直线l的倾斜角为α，则tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，cosα=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
设P（x₀，0），则直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$，
代入为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1得4t²+2$\sqrt{6}$x₀t+3（x₀²-2）=0，
设方程两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=-$\frac{\sqrt{6}{x}_{0}}{2}$，t₁t₂=$\frac{3（{{x}_{0}}^{2}-2）}{4}$，
∴|PA|²+|PB|²=t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=$\frac{3}{2}$x₀²-$\frac{3}{2}$（x₀²-2）=3．
∴：|PA|²+|PB|²为定值3．

点评 本题考查了椭圆的定义和性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．