Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+3．
（1）当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足

b

a

=

3

，

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos（A+C），求f（B）的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，由x的范围结合三角函数的运算可得；（2）由三角函数公式和已知数据可得c=2a，b=

3

a，代入余弦定理可得cosA=

3

2

，可得A=30°，进而可得C=90°，B=60°，代入可得其值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-3sin²x-cos²x+3
=

3

sin2x-3•

1-cos2x

2

-

1+cos2x

2

+3
=

3

sin2x-cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1∈[0，3]；
（2）∵

sin(2A+C)

sinA

=2+2cos（A+C），
∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），
∴-sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，
由正弦定理可得c=2a，又由

b

a

=

3

可得b=

3

a，
由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3a2+4a2-a2

2• 3 a•2a

=

3

2

，
∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，
由三角形的内角和可得B=60°，
∴f（B）=f（60°）=2

点评：本题考查三角形的正余弦定理，涉及三角函数的公式，属中档题．