Question

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2-(a+1)x（a≥1）
（1）讨论f（x）的单调性与极值点．
（2）若g(x)=

1

2

x2-x-1(x＞1)，证明当a=1时，g（x）的图象恒在f（x）的图象上方．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,函数在某点取得极值的条件

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可得极值点．
（2）构造函数，再借助导数判断函数的单调性及极值得到函数的图象恒在x轴上方，问题得以解决．

解答： 解：（1）f′(x)=

a

x

+x-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

(x＞0)
当a=1时，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，此时f（x）无极值点
当a＞1时，f'（x），f（x）在定义域上的变化情况如下表：

x	（0，1）	（1，a）	（a，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	增	减	增

由此表可知f（x）在（0，1）和（a，+∞）上单调递增，f（x）在（1，a）上单调递减，
∴x=1为极大值点，x=a为极小值点…（6分）
（2）a=1时，令F(x)=g(x)-f(x)=

1

2

x2-x-1-lnx-

1

2

x2+2x=x-1-lnx ，
∴F′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
当x＞1时，F'（x）＞0，0＜x＜1时，F'（x）＜0，
∴F（x）在（0  1）递减，在（1，+∞）上递增．
∴F（x）＞F（1）=0，∴x＞1时，F（x）＞0恒成立
即x＞1时，g（x）＞f（x）恒成立，
∴当x＞l时，g（x）的图象恒在f（x）的图象的上方…（12分）

点评：构造函数是解决问题的关键！能借助导数来判断函数的单调性及极值从而得到函数的图象．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、导数的思想以及问题转化的思想．