Question

设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a为实数．
（1）若f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（2，+∞）上有最小值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（0，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用函数的单调性与g（x）在（2，+∞）上有最小值，即可求a的取值范围；
（2）先确定a≤1，令f（x）=0，a=

lnx

x

，设h(x)=

lnx

x

，求导数，分类讨论，确定函数的单调性，结合函数的图象，即可求f（x）的零点个数．

解答： 解：（1）f（x）在（2，+∞）上是单调减函数，
则当x∈（2，+∞），f′（x）=

1

x

-a≤0恒成立，a≥

1

x

恒成立，
∴a≥(

1

x

)max=

1

2

．
令g′（x）=e^x-a=0，得x=ln a．
当x＜ln a时，g′（x）＜0；当x＞ln a时，g′（x）＞0．
又g（x）在（2，+∞）上有最小值，
所以ln a＞2，即a＞e²．
综上，有a∈（e²，+∞）．
（2）当x∈（0，+∞），g′（x）=e^x-a≥0恒成立，a≤（e^x）_min，∴a≤1
令f（x）=0，a=

lnx

x

，设h(x)=

lnx

x

，h/(x)=

1-lnx

x2

(x＞0)，
令h′（x）=0，x=e
当x∈（0，e），h′（x）＞0，h（x）在（0，e）上单调递增
当x∈（e，+∞），h′（x）＜0，h（x）在（e，+∞）上单调递减，
∴h(x)的最大值为h(e)=

1

e

h（x）的大致图象如图所示：

当

1

e

＜a≤1时无零点，0＜a＜

1

e

时，两个零点，a≤0，a=

1

e

时一个零点．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查函数的零点，考查分类讨论、数形结合的数学思想，正确运用导数是关键．