Question

在图的几何体中，面ABC∥面DEFG，∠BAC=∠EDG=120°，四边形 ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG=90°，四边形 DEFG 是梯形，EF∥DG，AB=AC=AD=EF=1，DG=2．
（1）求证：FG⊥面ADF；
（2）求二面角F-GC-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接DF，证明FG⊥DF，AD⊥FG，利用线面垂直的判定定理，即可证明FG⊥面ADF；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面FGC的法向量、平面GCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角F-GC-D的余弦值

解答： （1）证明：连接DF，则DF=1，FG=BC=

1+1-2•1•1•cos120°

=

3

，
∵DG=2，
∴DF²+FG²=DG²，
∴FG⊥DF，
∵四边形 ABED 是矩形，四边形ADGC 是直角梯形，∠ADG=90°，
∴AD⊥DE，AD⊥DG，
∵DE∩DG=D，
∴AD⊥四边形DEFG，
∴AD⊥FG，
∵AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF；
（2）解：建立如图所示的坐标系，则F（

3

2

，

1

2

，0），G（0，2，0），C（0，1，1），
∴

FG

=（-

3

2

，

3

2

，0），

GC

=（0，-1，1），
设平面FGC的法向量为

n

=（x，y，z），则

- 3 2 x+ 3 2 y=0 -y+z=0

，
取

n

=（

3

，1，1），
∵平面GCD的一个法向量为

m

=（

3

2

，0，0），
∴二面角F-GC-D的余弦值为

3 2

5 • 3 2

=

15

5

．

点评：本题以不规则几何体为载体，考查空间线面关系的判断与证明，空间角的计算，坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意．