Question

设正三棱柱（底边为等边三角形的直棱柱）的体积为2，那么其表面积最小时，底面边长为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，根据体积为2，用x表示h，求出表面积S关于x的函数式，利用均值不等式求函数的最小值，并求取得最小值时的条件，可得答案．

解答： 解：设正三棱柱的底面边长为x，高为h，
∵体积为2，∴

3

4

×x²×h=2，∴h=

8

3 x2

，
∴棱柱的表面积S=2×

3

4

×x²+3xh=

3

2

x²+

8 3

x

=

3

2

x²+

4 3

x

+

4 3

x

≥6

3

，
当x³=8时，即x=2时，取“=”．
故答案为：2．

点评：本题考查了直棱柱的侧面积公式、体积公式及均值不等式的应用，熟练掌握棱柱的侧面积、体积公式是基础，解答本题的难点是对函数式的变形后，利用均值不等式求最小值．