Question

8．已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8．
（1）求xy的最大值；
（2）求x+2y的最小值．

Answer 1

分析 首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2$\sqrt{ab}$，代入已知条件，即可得到（1），（2）的最值．

解答 解：考察基本不等式x+2y=8-x•（2y）≥8-（$\frac{x+2y}{2}$）²（当且仅当x=2y时取等号），
整理得（x+2y）²+4（x+2y）-32≥0，
即（x+2y-4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，
所以x+2y≥4（当且仅当x=2y=2时取等号），
即有2xy=8-（x+2y）≤8-4=4，
即xy≤2（当且仅当x=2，y=1取得等号），
可得（1）xy的最大值为2；
（2）x+2y的最小值为4．

点评 此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．