Question

3．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）的值；
（2）若f（$\frac{1}{3}$）=-1，求满足f（x）-f（$\frac{1}{x-2}$）≥2的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接根据条件f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1代入即可求出f（1）的值；
（2）先根据f（$\frac{1}{3}$）=-1得出f（3）=1，从而f（9）=2，因此，原不等式等价为：$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x≥\frac{9}{x-2}}\end{array}\right.$，解之即可．

解答 解：（1）因为f（xy）=f（x）+f（y），
所以，令x=y=1代入得，
f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0，
即f（1）的值为0；
（2）因为f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=f（3×$\frac{1}{3}$）=f（1）=0，
且f（$\frac{1}{3}$）=-1，所以，f（3）=1，
所以，f（3）+f（3）=f（9）=2，
因此，不等式f（x）-f（$\frac{1}{x-2}$）≥2可化为：
f（x）≥f（$\frac{1}{x-2}$）+f（9）=f（$\frac{9}{x-2}$），
再根据函数f（x）是定义在（0，+∞）上单调递增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x≥\frac{9}{x-2}}\end{array}\right.$，解得，x≥1+$\sqrt{10}$，
故原不等式的解集为：[1+$\sqrt{10}$，+∞）．

点评 本题主要考查了抽象函数的函数值，以及运用抽象函数的单调性和特殊值解不等式，涉及一元二次不等式的解法，属于中档题．