Question

6．记$\sum_{i=1}^{n}$a_i=a₁+a₂+…+a_n，$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a_i=a₁×a₂×…×a_n，设关于实数x的函数f_n（x）=$\frac{nx-n}{\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}[ix-（i-1）]}$（n∈N^*）满足$\sum_{i=1}^{2015}$f_i（x）＜1，则x可取的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{7}{12}$
• C． $\frac{31}{40}$
• D． $\frac{49}{60}$

Answer 1

分析 利用函数的性质运用赋值法能求出结果．

解答 解：∵$\sum_{i=1}^{n}$a_i=a₁+a₂+…+a_n，$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a_i=a₁×a₂×…×a_n，
设关于实数x的函数f_n（x）=$\frac{nx-n}{\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}[ix-（i-1）]}$（n∈N^*）满足$\sum_{i=1}^{2015}$f_i（x）＜1，
∴$1-\frac{1}{x}+\frac{2x-2}{x（2x-1）}+\frac{3x-3}{x（2x-1）（3x-2）}$+…+$\frac{2015x-2015}{x（2x-1）（3x-2）（4x-3）…（2015x-2014）}$＜1，
分别代入x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{7}{12}$，x=$\frac{31}{40}$，x=$\frac{49}{60}$，
得到x可取的值为$\frac{49}{60}$．
故选：D．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用．