题目内容

20．已知各项都为正数的数列{an}满足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，且64a10-a4=0，记Sn是数列{an}的前n项和，则$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$的值为（　　）
A．-$\frac{21}{8}$B．$\frac{21}{8}$C．-9D．9

分析 由数列递推式可得数列{an}是等比数列，设公比为q，由64a10-a4=0求得公比，再结合等比数列的前n项和公式得答案．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$，得${{a}_{n+1}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+2}$，
∴数列{an}是等比数列，设公比为q，
则${a}_{10}={a}_{4}{q}^{6}$，代入64a10-a4=0，
得$64{a}_{4}{q}^{6}-{a}_{4}=0$，即$q=\frac{1}{2}$．
则${S}_{6}=\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}=2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）$，
${S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}{1-\frac{1}{2}}=2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）$，
∴$\frac{{S}_{6}}{{a}_{1}-{S}_{3}}$=$\frac{2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{{a}_{1}-2{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{3}}）}=-\frac{21}{8}$．
故选：A．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的前n项和，是中档题．

练习册系列答案
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（Ⅲ）若函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上单调递增，求实数ω的取值范围．
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A．向右平移$\frac{π}{12}$个单位B．向左平移$\frac{π}{12}$个单位
C．向右平移$\frac{π}{3}$个单位D．向左平移$\frac{π}{3}$个单位

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