题目内容
如图，抛物线y=-x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式；
（2）若
| |CD| |
| |AB| |
考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：（1）首先根据二次函数的图象确定C的坐标，和线段AB的长，然后根据梯形面积关系式确定有条件下的解析式．
（2）由（1）的解析式，符合高次函数的形式，然后利用导数来求函数的最值，中间涉及相关的分类讨论和运算等知识．
（2）由（1）的解析式，符合高次函数的形式，然后利用导数来求函数的最值，中间涉及相关的分类讨论和运算等知识．
解答：
解：（1）依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为yC=-x2+9，
点B的横坐标xB满足方程--xB2+9=0⇒xB=3，-3(舍去)；
所以S
(|CD|+|AB|)•yc=（2x+2×3）（-x2+9）=（x+3）（-x2+9）
由点C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x2+9）（0＜x＜3）
（2）由 0＜x＜3.
≤k及0＜k＜1⇒0＜x＜3k，
记f（x）=（x+3）（-x2+9），0＜x≤3k，
则f'（x）=-3x2-6x+9=-3（x-1）（x+3），
令f'（x）=0，得x=1．
①若1＜3k，即
＜k＜1f'（x）与f（x）的变化情况如下：
所以，当x=1时，f（x）取得最大值，且最大值为f（1）=32，
②若1≥3k，即0＜k≤
f'（x）＞0恒成立，
所以，f（x）的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k2），
综上所述
＜k＜1时，S的最大值为32；
0＜k≤
；S的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k2）．
故答案为：（1）S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x2+9）（0＜x＜3），
（2）当
＜k＜1时，S的最大值为32，
当
0＜k≤
，S的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k2）
点B的横坐标xB满足方程--xB2+9=0⇒xB=3，-3(舍去)；
所以S
| 1 |
| 2 |
由点C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x2+9）（0＜x＜3）
（2）由 0＜x＜3.
| x |
| 3 |
记f（x）=（x+3）（-x2+9），0＜x≤3k，
则f'（x）=-3x2-6x+9=-3（x-1）（x+3），
令f'（x）=0，得x=1．
①若1＜3k，即
| 1 |
| 3 |
| x | （0，1） | 1 | （1，3k） |
| f'（x） | + | 0 | - |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
②若1≥3k，即0＜k≤
| 1 |
| 3 |
所以，f（x）的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k2），
综上所述
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
故答案为：（1）S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x2+9）（0＜x＜3），
（2）当
| 1 |
| 3 |
当
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查的知识点：二次函数的图象及相关的性质，函数的解析式，利用导数求函数的最值及相关的运算问题和分类讨论问题．
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|
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A、 |
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D、 |