Question

18．已知a＞0，集合A={x|ax²-2x+2a-1=0}，B={y|y=log₂（x+$\frac{a}{x}$-4）}，p：A=∅，q：B=R．
（1）若p∧q为真，求a的最大值；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q为真时，a的取值范围；
（1）若p∧q为真，则求两个范围的交集即可；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，分类求出a的范围，综合可得答案．

解答 解：当a＞0时，
若命题p：A=∅为真，
则$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△=4-4a（2a-1）＜0\end{array}\right.$，解得：a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞），
∴a∈（1，+∞），
若命题q：B=R为真．
则2$\sqrt{a}$-4≤0，
解得：a∈（0，4]
（1）若p∧q为真，则a∈（1，4]，
故a的最大值为4；
（2）若p∧q为为假，p∨q为真，
则p，q一真一假，
若p真q假，则a∈（4，+∞），
若p假q真，则a∈（0，1]，
综上可得：a∈（0，1]∪（4，+∞）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，二次方程根的个数，对数函数的图象和性质，难度中档．