Question

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且sinA＞sinC，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，cosB=$\frac{1}{3}$，b=3．
（1）求a与c；      
 （2）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，sinA＞sinC，利用正弦定理可得a＞c．再利用数量积运算性质与余弦定理即可得出．
（2）利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）△ABC中，sinA＞sinC，∴a＞c．
∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，cosB=$\frac{1}{3}$，b=3．
∴-cacosB=-2，9=b²=a²+c²-2accosB，
∴ac=6，（a+c）²-$\frac{8}{3}$ac=9，化为：a+c=5．
∴a=3，c=2．
（2）sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴cos2B=2cos²B-1=-$\frac{7}{9}$，sin2B=$\sqrt{1-co{s}^{2}2B}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∵a=b=3，∴A=B，
∴C=π-2B．
cos（B-C）=cos（B-π+2B）=-cos3B=-cosBcos2B+sinBsin2B=$-\frac{1}{3}×（-\frac{7}{9}）$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{23}{27}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质、同角三角函数基本关系式、倍角公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．