Question

8．已知数列{a_n}：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$，…，$\frac{1}{10}$+$\frac{2}{10}$+$\frac{3}{10}$+…+$\frac{9}{10}$，…，若b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，那么数列{b_n}的前n项和S_n为（　　）

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{4n}{n+1}$
• C． $\frac{3n}{n+1}$
• D． $\frac{5n}{n+1}$

Answer 1

分析 先确定数列{a_n}的通项，再确定数列{b_n}的通项，利用裂项法可求数列的和．

解答 解：由题意，数列{a_n}的通项为a_n=$\frac{1+2+…+n}{n+1}$=$\frac{n}{2}$，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
∴S_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=4（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$
故选B．

点评 本题考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题．