Question

定义：x∈R且当m-

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＜x≤m+

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3

（m∈Z）时，φ（x）=m；令函数f（x）=|x-φ（x）|，有以下三个命题：
①f（x）是最小正周期为1的周期函数；
②f（x）的值域为[0，1]；
③f（x）在(k，k+

2

3

]上是增函数（k∈Z），其中真命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：导数的概念及应用

分析：①根据周期性的定义求证即可，②f（x）=|x-m|，又-

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＜x-m≤

2

3

，即可求出f（x）的值域，③利用分段函数判断其一个区间的增减性，再利用周期函数的性质即可求出．

解答： 解：∵x∈R且当m-

1

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＜x≤m+

2

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（m∈Z）时，
∴m+1-

1

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＜x+1＜m+1+

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，-

1

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＜x-m≤

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，
∵φ（x）=m，
∴φ（x+1）=m+1
①∵f（x）=|x-φ（x）|，
∴f（x+1）=|x+1-φ（x+1）|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-φ（x）|=f（x），
∴f（x）是最小正周期为1的周期函数
故①正确；
②∵f（x）=|x-φ（x）|，φ（x）=m，
∴f（x）=|x-m|，
又-

1

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＜x-m≤

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，
∴f（x）的值域为[0，

2

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]．
故②错误；
③∵f（x）=|x-m|，
∴f(x)=

x-m，x≥m -x+m，x＜m

∴f（x）在（0，

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]是增函数，
又f（x）是周期为1的周期函数，
∴f（x）在(k，k+

2

3

]上是增函数（k∈Z），
故③正确．
∴其中真命题的序号是①③．
故选：B．

点评：本题主要考查了函数的周期性和单调性以及值域，转化思想时这类型题目常用的思想方法．