Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，求a_n．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，两边取倒数，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
解得a_n=$\frac{2}{n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、“取倒数法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．