Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c（1+cosA）=

3

a•sinC
（1）求角A的大小；
（2）若a=2，△ABC的面积为

3

，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，利用两角和与差的正弦函数公式变形，求出A的度数即可；
（2）由a，以及cosA的值，利用余弦定理列出关系式得到b²+c²-bc=4，再利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及sinA代入求出bc=4，两式联立求出b+c的值，由a+b+c即可求出三角形ABC周长．

解答： 解：（1）由已知及正弦定理得sinC（1+cosA）=

3

sinAsinC，
∵sinC≠0，∴1+cosA=

3

sinA，即

3

sinA-cosA=2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
∴A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

（舍去），
∴A=

π

3

；
（2）∵a=2，cosA=cos

π

3

=

1

2

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-bc=4，①
∵△ABC的面积为

3

，即

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，②
联立①②得：（b+c）²=4+3bc=16，
∴b+c=4，
则△ABC周长为a+b+c=2+4=6．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．