Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，E是圆O中直径CF延长线上一点，弦AB⊥CF，AE交圆O于P，PB交CF于D，连接AO、AD．求证：
（Ⅰ）∠E=∠OAD；
（Ⅱ）OF²=OD•OE．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由已知条件，结合图形知∠E=∠APD-∠PDE，∠OAD=∠APD-∠ADC，再由垂径定理能证明∠E=∠OAD．
（Ⅱ）由已知条件推导出△AOD∽△EOA，由此能够证明OF²=OD•OE．

解答： （本小题满分10分）
证明：（Ⅰ）∵E是圆O中直径CF延长线上一点，弦AB⊥CF，
∴∠CDB=∠ADC，∠AOC=∠APD，
∵∠E=∠APD-∠PDE，
∠OAD=∠AOC-∠ADC=∠APD-∠ADC，
∠PDE=∠CDB=∠ADC，
∴∠E=∠OAD．
（Ⅱ）∵∠E=∠OAD，∠AOD=∠EOA，
∴△AOD∽△EOA，
∴

OA

OE

=

OD

OA

，即OA²=OD•OE，
又∵OA=OF，∴OF²=OD•OE．

点评：本题考查角相等的证明，考查等式成立的证明，解题时要注意垂径定理、相似三角形等知识点的合理运用，是中档题．