Question

16．如图，直线AB经过⊙O上一点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$，⊙O的半径为2，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质和切线的定义即可证明；
（2）利用直径所对的圆周角为直角及正切函数的定义可得$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．再利用切线的性质可得△CBD∽△EBC，于是$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．设BD=x，BC=2x，利用切割线定理可得BC²=BD•BE，代入解出即可．

解答 解：（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵ED是直径，∴∠ECD=90°，
在Rt△ECD中，∵tan∠CED=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
∵AB是⊙O的切线，
∴∠BCD=∠E．
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△CBD∽△EBC，
∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
设BD=x，BC=2x，
又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+4）．
解得：x₁=0，x₂=$\frac{4}{3}$，
∵BD=x＞0，∴BD=$\frac{4}{3}$．
∴OA=OB=BD+OD=$\frac{4}{3}$+2=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、切线的定义、圆的性质、相似三角形的性质、切割线定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．