Question

5．已知方程x³+ax²+bx+c=0（a，b，c∈R）．
（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；
（2）求证：a²-3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．

Answer 1

分析 （1）当a=b=4时，方程x³+4x²+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x³+4x²+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当$c∈（0，\frac{32}{27}）$时，函数f（x）=x³+4x²+4x+c有三个不同零点，可得结论；
（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a²-12b＞0，故a²-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．

解答 解：设f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）当a=b=4时，方程x³+4x²+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x³+4x²+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x³+8x+4，令f'（x）=0得x₁=-2或${x_2}=-\frac{2}{3}$，f（x）与f'（x）的区间（-∞，+∞）上情况如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f'（x）		c		c-$\frac{32}{27}$

所以，当c＞0时且$c-\frac{32}{27}＜0$时，存在x₁∈（-4，-2），${x_2}∈（-2，-\frac{2}{3}）$，${x_3}∈（-\frac{2}{3}，0）$，
使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=0．
由f（x）的单调性知，当且仅当$c∈（0，\frac{32}{27}）$时，函数f（x）=x³+4x²+4x+c有三个不同零点．
即方程x³+4x²+4x+c=0有三个不同实根．
（2）当△=4a²-12b＜0时，f'（x）=3x²+2ax+b＞0，x∈（-∞，+∞），
此时函数f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增，
所以f（x）不可能有三个不同零点．
当△=4a²-12b＜0时，f'（x）=3x²+2ax+b只有一个零点，记作x₀，
当x∈（-∞，x₀）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递增；
当x∈（x₀，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x₀，+∞）上单调递增．
所以f（x）不可能有三个不同零点．
综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a²-12b＞0．
故a²-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．
当a=b=4，c=0时，a²-3b＞0，f（x）=x³+4x²+4x=x（x+2）²只有两个不同零点，
所以a²-3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．
因此a²-3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．
即a²-3b＞0是方程x³+ax²+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．