Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁＞0，S₅₀=0．设b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N₊），则当数列{b_n}的前n项和T_n取得最大值时，n的值是

 

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Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得公差d＜0，从a₂₆开始小于零，从b₁到b₂₃的值都大于零，n=23时T_n达到最大，而b₂₄与b₂₅绝对值相等，符号相反，相加为零，从而推导出当数列{b_n}的前n项和T_n取得最大值时，n的值是23或25．

解答： 解：∵a₁＞0，S₅₀=0，
∴公差d＜0，从a₂₆开始小于零，
∵b_n=a_na_n+1a_n+2（n∈N₊），
∴从b₁到b₂₃的值都大于零，
n=23时T_n达到最大，而b₂₄与b₂₅绝对值相等，符号相反，相加为零，
T₂₅=T₂₃，之后T_n越来越小，
∴当数列{b_n}的前n项和T_n取得最大值时，n的值是23或25．
故答案为：23或25．

点评：本题考查数列的前n项和取取得最大值时，n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．