Question

设函数f（x）=a-

2

( 1 2 )x+b

是R上的奇函数，且f（-1）=

1

3

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f（0）=0，与f（-1）=

1

3

，联立解出a，b；代入验证即可；
（2）由观察法求函数的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴

f(0)=a- 2 1+b =0 f(-1)=a- 2 2+b = 1 3

联立解得：

a=- 2 3 b=-4

或

a=1 b=1

，
经检验，只有

a=1 b=1

满足题意．
∴f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

（2）∵f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

，且(

1

2

)x＞0，
∴(

1

2

)x+1＞1，
∴0＜

1

( 1 2 )x+1

＜1，
∴0＜

2

( 1 2 )x+1

＜2，
∴-2＜-

2

( 1 2 )x+1

＜0，
∴-1＜1-

2

( 1 2 )x+1

＜1，
∴f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

的值域为（-1，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性的应用及函数的值域的求法，属于基础题．