Question

已知以点P到两定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为

2

，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：设P（x，y），由于点P到两定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为

2

，可得

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，化为（x-2）²+y²=3．设PM的直线方程为：y=k（x+1），根据点N到直线PM的距离为1，可得

|k+k|

k2+1

=1，解得k=±

3

3

．与圆的方程联立可得交点的坐标，再利用点斜式即可得出．

解答： 解：设P（x，y），∵点P到两定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为

2

，
∴

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

，
化为（x-2）²+y²=3．
设PM的直线方程为：y=k（x+1），
∵点N到直线PM的距离为1，
∴

|k+k|

k2+1

=1，解得k=±

3

3

．
联立

y=± 3 3 (x+1) (x-2)2+y2=3

，
解得

x= 7+ 33 4 y=± 11 3 +3 11 12

或

x= 7- 33 4 y=± 11 3 -3 11 12

．
∴直线PN的方程分别为：
y=±

11 3 +3 11

9+3 33

(x-1)，y=±

11 3 -3 11

9-3 33

(x-1)．

点评：本题考查了直线与圆相交问题、直线的点斜式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．