Question

已知f（x）=|x-1|-lnx．
（1）求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（3）根据（2）的结论推出当x＞1时：

lnx

x

与1-

1

x

的大小关系，并由此比较

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

与

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

(n∈N*且n≥2)的大小，且证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数的导数根据函数单调性和最值与导数之间的关系即可求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；
（3）利用放缩法即可证明不等式．

解答： 解：（1）当x≥1时，f（x）=x-1-lnx．
则f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴在x=2处的切线斜率为k=f′(2)=

1

2

，
而f（2）=1-ln2，
∴在点P（2，f（2））处的切线方程为：y-1+ln2=

1

2

(x-2)，
整理得x-2y-2ln2=0为所求的切线方程．
（2）f（x）=|x-1|-lnx，定义域为（0，+∞），
当x≥1时，f(x)=x-1-lnx，f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

≥0，
∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的．
当0＜x＜1时，f(x)=1-x-lnx，f′(x)=-1-

1

x

＜0．
∴f（x）在区间（0，1）上是递减的．
∴f（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（0，1），
因此f（x）_min=f（1）=0．
（3）由（2）可知，当x＞1时，有x-1-lnx＞0，即

lnx

x

＜1-

1

x

，
∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

1

n2

=n-1-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜n-1-[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

]
=n-1-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)=n-1-(

1

2

-

1

n+1

)=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

．
故

ln22

22

+

ln32

32

+…+

ln22

22

＜

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

，n∈N*，n≥2．

点评：本题主要考查导数的综合应用，以及导数的几何意义，以及导数和不等式的关系，综合性较强运算量较大．