Question

函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log_a（2-x）（a＞1）．
（1）求函数的解析式；
（2）若f（x）的最大值为

1

2

，解关于x∈[-1，1]的不等式f（x）＞

1

4

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由偶函数的定义求出[-1，0]上的解析式即可，（2）由最值求出a，利用函数的单调性解不等式．

解答： 解：（1）设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=log_a（2+x）．
故f（x）=

loga(2-x)，x∈[0，1] loga (2+x)，x∈[-1，0]

，
（2）∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，
又∵f（x）=log_a（2-x）（a＞1）在[0，1]上单调递减．
则f（x）_max=f（0）=

1

2

，
解得，a=4．
则在[0，1]上，不等式f（x）＞

1

4

可化为log₄（2-x）＞

1

4

=log4

2

，
则

2

＜2-x，
解得x＜2-

2

，
同理，

2

-2＜x，
则

2

-2＜x＜2-

2

．

点评：本题考查了奇偶性的应用及利用单调性求最值及不等式的解等，属于中档题．