Question

如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）．M为棱AC的中点．

（1）求证：AD⊥BC；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，求直线BM与面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）沿AD将△ABD折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，从而AD⊥平面BDC，由此能证明AD⊥BC．
（2）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能证明直线BM与面ACD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵AD⊥BC，
∴沿AD将△ABD折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
又BC?平面BDC，∴AD⊥BC．
（2）∵∠BDC=90°，∴DB，DC，DA两两垂直，
以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
设BD=x，则CD=3-x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x，
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD，
∴V_A-BCD=

1

3

×AD×S_△BCD=

1

3

×（3-x）×

1

2

×x（3-x）=

1

6

（x³-6x²+9x）
设f（x）=

1

6

（x³-6x²+9x），x∈（0，3），
∵f′（x）=

1

2

（x-1）（x-3），
∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数，
∴当x=1时，函数f（x）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A-BCD的体积最大．
三棱锥A-BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），
A（0，0，2），M（0，1，1），E（

1

2

，1，0），
且

BM

=（-1，1，1），
设直线BM与面ACD所成角为θ，
∵平面ACD的法向量

m

=(1，0，0)
∴sinθ=|cos＜

m

，

BM

＞|=|

-1

3

|=

3

3

．
∴直线BM与面ACD所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．