题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，短轴长为2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知条件推导出
，由此能求出椭圆方程．
（2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．由
，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，再由
，能求出点P的轨迹方程．
|
（2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．由
|
|
解答：
解：（1）∵椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，短轴长为2
，
∴
，解得a=2，b=
，
∴椭圆方程为
+
=1．
（2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；
若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．
由
，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，…①
则
，将其消去k，得
+(y-1)2=1，
由①中△=（-16k）2-16（3+4k2）＞0，解得k2＞
，
则x=
=
∈[-
，0）∪（0，
]，y=
+2=
∈（0，
）．
综上，所求点P的轨迹方程为
+(y-1)2=1．y∈[0，
）．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
∴
|
| 3 |
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），
若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；
若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．
由
|
则
|
| 3x2 |
| 4 |
由①中△=（-16k）2-16（3+4k2）＞0，解得k2＞
| 1 |
| 4 |
则x=
| -8k |
| 3+4k2 |
| -8 | ||
4k+
|
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| -8k2 |
| 3+4k2 |
| 6 |
| 3+4k2 |
| 3 |
| 2 |
综上，所求点P的轨迹方程为
| 3x2 |
| 4 |
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
如图，△ABC中，|AB|=4，|AC|=3，若P为线段BC的垂直平分线上的动点，则已知不同的直线l，m，不同的平面α，β，下命题中：
①若α∥β，l?α，则l∥β
②若α∥β，l⊥α，则l⊥β
③若l∥α，m?α，则l∥m
④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l
则真命题的个数有（ ）
①若α∥β，l?α，则l∥β
②若α∥β，l⊥α，则l⊥β
③若l∥α，m?α，则l∥m
④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l
则真命题的个数有（ ）
| A、0个 | B、1个 | C、2个 | D、3个 |
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=