Question

已知点M（1，-1）与点N（-1，1），动点P满足：直线MP与NP的斜率之积等于-

1

3

．设直线MP与NP分别与直线x=3相交于A，B两点，若点P使得△PMN与△PAB的面积相等，则点P的横坐标是多少？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据点M（1，-1）与点N（-1，1），动点P满足：直线MP与NP的斜率之积等于-

1

3

，得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程，再假设存在，由面积公式得：

1

2

|PA||PB|sin∠APB=

1

2

|PM||PN|sin∠MPN，根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．

解答： 解：设点P的坐标为（x，y）
∵点M（1，-1）与点N（-1，1），动点P满足：直线MP与NP的斜率之积等于-

1

3

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

，
化简得x²+3y²=4（x≠±1）．
即动点P轨迹方程为x²+3y²=4（x≠±1）
若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x₀，y₀）
则

1

2

|PA||PB|sin∠APB=

1

2

|PM||PN|sin∠MPN
∵sin∠APB=sin∠MPN，
∴

|PA|

|PM|

=

|PN|

|PB|

∴

|x0+1|

|3-x0|

=

|3-x0|

|x0-1|

即（3-x₀）²=|x₀²-1|，解得x₀=

5

3

∵x₀²+3y₀²=4，∴y₀=±

33

9

．
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（

5

3

，±

33

9

）．

点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．