Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过点P(

2

，

3

)，且离心率为2，过右焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为M，N．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求四边形OMFN的面积（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，把点P(

2

，

3

)代入，能求出双曲线方程．
（2）求出双曲线方程右焦点F（2，0），渐近线方程y=±

3

x，右焦点F到渐近线y=±

3

x的距离d，由此能求出四边形OMFN的面积．

解答： 解：（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1离心率为2，即e=

c

a

=2，
∴c=2a，∴b²=4a²-a²=3a²，（2分）
∴设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

3a2

=1，
∵双曲线过点P(

2

，

3

)，
∴

2

a2

-

3

3a2

=1，解得a²=1，
∴双曲线方程为x2-

y2

3

=1．（5分）
（2）∵双曲线方程为x2-

y2

3

=1，
∴右焦点F（2，0），渐近线方程为y=±

3

x，
右焦点F到渐近线y=±

3

x的距离d=

|±2 3 |

1+3

=

3

，（9分）
在Rt△OMF中，∠OMF=90°，OF=2，MF=

3

，
∴|OM|=

4-3

=1，同理|ON|=1，
∴S_{四边形OMFN}=2S_△OMF=2×（

1

2

×1×

3

）=

3

．（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．