题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上动点，弦PA、PB分别过点F1、F2，设向量
PF1
=λ1
F1A
，
PF2
=λ2
F2B
，求证：λ1+λ2为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：由已知条件推导出|F1A|=
|PF1|
λ1
，|F2B|=
|PF2|
λ2
，对于椭圆，设CG为左准线，PC、F1E、AG分别于CG垂直，由此推导出λ1=
2|PF1|
a-ec
-1，λ2=
2|PF2|
a-ec
-1，由此能够证明λ1+λ2为定值．
解答： 证明：∵
PF1
与
F1A
同向，
PF2
与
F2B
同向，
PF1
=λ1
F1A
，
PF2
=λ2
F2B
，
∴λ1=
PF1
F1A
＞0，λ2 =
PF2
F2B
＞0，
∴|F1A|=
|PF1|
λ1
，|F2B|=
|PF2|
λ2
，
如图，对于椭圆，设CG为左准线，PC、F1E、AG分别于CG垂直，
e=
c
a
=
|PF1|
|PC|
=
|F1A|
|AG|
，
∴|PC|=
|PF1|
e
，|AG|=
|F1A|
e
，
又|EF1|=
a2
c
-c=
a
e
-c为定值，
对梯形PCGA用相似三角形关系，有如下关系：
λ1 =
|PF1 |
|F1A|
=
|PC|-|EF1|
|EF1 |-|AG|
=
|PF1|
e
-(
a2
c
-c)
(
a2
c
-c)-
|F1A|
e
=
|PF1|
e
-(
a
e
-c)
(
a
e
-c)-
|PF1|
eλ1
，
整理得(
a
e
-c)λ1=
2|PF1|
e
-(
a
c
-c)，
∴λ1=
2|PF1|
a-ec
-1，①
同理，对梯形PDHB有λ2=
2|PF2|
a-ec
-1，②
①+②，得：λ1+λ2=
2(|PF1|+|PF2|)
a-ec
-2，
对于椭圆上点P，由定义有|PF1|+|PF2|=2a，
∴λ1+λ2=
2•2a
a-ec
-2=
2(a+ec)
a-ec
=
2(1+e2)
1-e2
为定值．
点评：本题考查两数和为定值的证明，计算量大，比较繁琐，要求熟练掌握椭圆的简单性质，解题时要认真审题，细心运算，避免出现计算上的低级错误．
练习册系列答案
相关题目
已知集合A={x∈N|0＜x＜3}，B={x|2x-1＞1}，则A∩B=（　　）
A、∅B、{1}
C、{2}D、{1，2}
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
1
2
，短轴长为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．
已知椭圆M的中心原点O，点F（-1，0）是它的一个焦点，直线L过点F与椭圆M交于P、Q两点，当直线L的斜率不存在时，
OP
•
OQ
=
1
2
．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设A、B、C是椭圆M上的不同三点，且
OA
+
OB
+
OC
=0，证明直线AB与OC的斜率之积为定值．
直线y=2x+m与椭圆
x2
4
+y2=1相交于A、B两点，m为变量，求|AB|的最大值．
已知线段AB的端点B的坐标是（1，2），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，点M是AB的中点．
（1）若点M的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
（2）设直线l：x+y+3=0，求曲线C上的点到直线l距离的最大值和最小值．
设A、B分别是直线y=±
2
2
x上的动点，且|AB|=
2
，O为坐标原点，若动点P满足
OP
=
OA
+
OB
；动点Q在动圆C1：x2+y2=t2（1＜t＜4）上．
（1）求动点P的轨迹C2的方程；
（2）若直线PQ与C1和C2均只有一个交点，求线段PQ长度的最大值并求出此时圆C1的方程．
化简：-
OA
+
OB
-
OC
-
CO
=
 
．
已知集合A={-1，m}，B={x|x＞1}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是
 
．

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