Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=

π

2

．AC=CB=AA₁=2，E为BB₁的中点，D在AB上，且∠A₁DE=

π

2

．
（Ⅰ）求证：CD⊥面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-A的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB=2

2

，BD=

2

，D为BC的中点，从而得到CD⊥AB，由此能够证明CD⊥面ABB₁A₁．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法和三角函数的性质能求出二面角D-A₁C-A的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）∵AC=CB=2∠ACB=

π

2

，∴AB=2

2

，
设BD=a，则AD=2

2

-a．
在Rt△A₁AD中，tan∠A1DA=

2

2 2 -a

在Rt△BDE中，tan∠BDE=

2

a

由∠A1DA+∠BDE=

π

2

，∴tan∠A₁DA×tan∠BDE=1，
∴BD=

2

，D为BC的中点．（3分）
又CA=CB，∴CD⊥AB，
由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴AA₁⊥面ABC，
又CD?面ABC，∴CD⊥AA₁．（5分）
由AB∩AA₁=A，∴CD⊥面ABB₁A₁．（6分）
（Ⅱ）由条件如图建立空间直角坐标系C-xyz，
由（Ⅰ）得：C（0，0，0），A（2，0，0），
A₁（2，0，2），D（1，1，0）．
∵CB⊥面ACC₁A₁，
∴面A₁CA的法向量为

CB

=(0，2，0)，（8分）
设面DA₁C的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n ⊥ CA1 n ⊥ CD

，又

CA1 =(2，0，2) CD =(1，1，0)

，
∴

2x+2z=0 x+y=0

⇒

z=-x y=-x

，令x=1，则

n

=(1，-1，-1)，（10分）
∴cos＜

CB

，

n

＞=

CB • n

| CB || n |

=-

3

3

，
设二面角D-A₁C-A的大小为θ，
则sinθ=

1-(- 3 3 )2

=

6

3

，
即二面角D-A₁C-A的正弦值为

6

3

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．