题目内容
设G是△ABC的重心．
（1）若从△ABC内任取一点P，则点P落在△GBC内的概率是 ．
（2）若点Q落在△GBC内（不含边界），且
=λ
+μ
，则λ+μ的取值范围是 ．
（1）若从△ABC内任取一点P，则点P落在△GBC内的概率是
（2）若点Q落在△GBC内（不含边界），且
| AQ |
| AB |
| AC |
考点：几何概型
专题：概率与统计
分析：（1）点P落在△GBC内的概率即为△GBC的面积与△ABC的面积的比值；
（2）由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；
当P和G重合时，λ+μ最小，此时，
=λ
+μ
=
（
+
），λ=μ=
，λ+μ=
．
（2）由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；
当P和G重合时，λ+μ最小，此时，
| AP |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
解答：
解：（1）由于G是△ABC的重心，故△GBC的面积为△ABC的面积的
，
故点P落在△GBC内的概率是
；
（2）∵点Q是△GBC内一点，则λ+μ＜1，
当Q和G重合时，λ+μ最小，
此时，
=λ
+μ
=
×
（
+
）=
（
+
），
∴λ=μ=
，λ+μ=
．
故
＜λ+μ＜1，
故答案为：
；（
，1）．
| 1 |
| 3 |
故点P落在△GBC内的概率是
| 1 |
| 3 |
（2）∵点Q是△GBC内一点，则λ+μ＜1，
当Q和G重合时，λ+μ最小，
此时，
| AQ |
| AB |
| AC |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
∴λ=μ=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故
| 2 |
| 3 |
故答案为：
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．
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