Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x≥0\\-1，x＜0\end{array}$，g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$f（x-1），则函数g（x）的递增区间是（-∞，0]，[1，2]．

Answer 1

分析 由f（x）的解析式求得f（x-1）的解析式，得到g（x）的解析式，分段求出函数的导函数，得到函数的单调性，画出简图得答案．

解答 解：由数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x≥0\\-1，x＜0\end{array}$，得f（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥1}\\{-1，x＜1}\end{array}\right.$，
∴g（x）=$\frac{x^2}{e^x}$f（x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x≥1}\\{-\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}，x＜1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，g′（x）=$\frac{2x{e}^{x}-{x}^{2}{e}^{x}}{{e}^{2x}}=\frac{2x-{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，
当x∈（-∞，0）时，g′（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{{e}^{x}}$＜0，
又g（0）=0，g（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}＞0$，作出g（x）的图象如图：

∴函数g（x）的递增区间是：（-∞，0]，[1，2]．
故答案为：（-∞，0]，[1，2]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．