Question

2．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{n+1}{{{{（{n+2}）}^2}a_n^2}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与$\frac{5}{16}$的大小．

Answer 1

分析 （1）由2S_n=（n+1）a_n，当n≥2，2S_n-1=na_n-1，两式相减可知：$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}$，即$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}=…=\frac{a_1}{1}=1$，a_n=n；
（2）由（1）可知：${b_n}=\frac{n+1}{{{{（{n+2}）}^2}{n^2}}}=\frac{1}{4}[{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}]$，采用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和为T_n，即可比较T_n与$\frac{5}{16}$的大小．

解答 解：（1）∵$2{S_n}=（{n+1}）{a_n}，n∈{N^*}$，
∴$2{S_{n-1}}=n{a_{n-1}}，n≥2，n∈{N^*}$，
两式相减得：$（{n-1}）{a_n}=n{a_{n-1}}，n≥2，n∈{N^*}$，…（2分）
∴$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}$（n≥2，且n∈N^*），
又$\frac{a_1}{1}=1$，
∴$\frac{a_n}{n}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-1}=…=\frac{a_1}{1}=1$，
∴a_n=n…（6分）
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{n+1}{{{{（{n+2}）}^2}{n^2}}}=\frac{1}{4}[{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}]$…（9分）
∴${T_n}=\frac{1}{4}[{（{\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}}）+（{\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}}）+（{\frac{1}{3^2}-\frac{1}{5^2}}）+…+（{\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}-\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}}）+（{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}）}]$，
=$\frac{1}{4}[{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}-\frac{1}{{{{（{n+1}）}^2}}}-\frac{1}{{{{（{n+2}）}^2}}}}]＜\frac{1}{4}（{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}）=\frac{5}{16}$…（12分）

点评 本题考查数列通项公式的求法，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．