Question

12．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，记a=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（sin\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$，c=$\frac{f（lo{g}_{π}3）}{io{g}_{π}3}$，则（　　）

• A． c＜b＜a
• B． c＜a＜b
• C． b＜a＜c
• D． b＜c＜a

Answer 1

分析 由条件判断 函数$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数，再根据a=$\frac{f{（2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$，c=$\frac{f{（log}_{π}3）}{{log}_{π}3}$，可得 b＜c＜a．

解答 解：f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x₁，x₂，不妨假设0＜x₁ ＜x₂，都有$\frac{{x}_{2}f（{x}_{1}）-{x}_{1}（{x}_{2}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
即 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$-$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}•f{（x}_{1}）{-x}_{1}•f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜0，即 $\frac{f{（x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f{（x}_{2}）}{{x}_{2}}$，
∴函数$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数．
∵$\frac{1}{2}$＜log_π3＜2^0.2，a=$\frac{f（{2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$=$\frac{f{（2}^{0.2}）}{{2}^{0.2}}$，b=$\frac{f（sin\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{\frac{1}{2}}$，c=$\frac{f（lo{g}_{π}3）}{io{g}_{π}3}$=$\frac{f{（log}_{π}3）}{{log}_{π}3}$，∴b＜c＜a，
故选：D．

点评 本题主要考查函数的单调性的应用，属于中档题．