Question

15．在（1+x）²ⁿ+x（1+x）^2n-1+…+xⁿ（1+x）ⁿ的展开式中，xⁿ的系数为（　　）

• A． $\frac{（2n+1）!}{n!n!}$
• B． $\frac{（2n+2）!}{n!n!}$
• C． $\frac{（2n+1）!}{n!（n+1）!}$
• D． $\frac{（2n+2）!}{n!（n+1）!}$

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式，得出展开式中xⁿ项的系数为C_2nⁿ+C_2n-1^n-1+C_2n-2n^n-2+…+C_n+1¹+C_n⁰，计算即可．

解答 解：（1+x）²ⁿ中xⁿ的系数为C_2nⁿ，
x（1+x）^2n-1中xⁿ的系数为C_2n-1^n-1，
x²（1+x）^2n-2中xⁿ的系数为C_2n-2^n-2，
…，xⁿ（1+x）ⁿ中xⁿ的系数为C_n⁰；
所以展开式中xⁿ项的系数为
C_2nⁿ+C_2n-1^n-1+C_2n-2n^n-2+…+C_n+1¹+C_n⁰=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_nⁿ
=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_nⁿ
=C_2nⁿ+C_2n-1ⁿ+C_2n-2ⁿ+…+C_n+1ⁿ+C_n+1ⁿ⁺¹
=C_2n+1ⁿ⁺¹
=$\frac{（2n+1）!}{n!•（n+1）!}$．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了推理与计算能力，正确运用二项式定理是解题的关键．