Question

18．在极坐标系中，已知曲线C：ρ²+2ρsinθ-3=0（ρ∈R），直线l是过直角坐标系下定点（2，1）且与直线θ=$\frac{π}{4}$平行的直线，A、B分别为曲线C和直线l上的动点．
（1）将曲线C和直线l分别化为直角坐标系下的方程；
（2）求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，把曲线C的方程化为直角坐标方程，利用相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出直线l的方程；
（2）求出圆心C（0，-1）在直线l上，可得|AB|的最小值为0．

解答 解：（1）曲线C：ρ²+2ρsinθ-3=0（ρ∈R），
∴x²+y²+2y-3=0，化为x²+（y+1）²=4；
l为过定点（2，1）且与直线θ=$\frac{π}{4}$平行的直线，
∴直线l的方程为：y-1=x-2，化为x-y-1=0．
（2）圆心C（0，-1）在直线l上，∴|AB|的最小值=0．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、相互平行的直线斜率之间的关系、点斜式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．