Question

已知圆M过两点C（1，-1），D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B是切点，则四边形PAMB面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，求出圆M的方程，又四边形PAMB的面积为S=2

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

解答： 解：设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），根据题意得

(1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2 a+b-2=0

，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4；
四边形PAMB的面积为S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

|3+4+8|

5

=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2

|PM|2-4

=2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．