Question

直线L₁：y=x，与直线L₂：y=kx（k＞0），点P（m，m）是L₁上的动点，以P为圆心的圆切直线L₂于点A，过点P作垂直于x轴的直线交L₂于B．
（1）当|OB|=5|BA|时，求直线L₂的方程；
（2）若圆P的半径为1，△OPA的面积为1，求L₂的方程．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设A（x，y），B（m，km），则由|OB|=5|BA|，可得

OA

=

1

4

OB

或

OA

=

6

5

OB

，求出A的坐标，利用直线OA与AP垂直，建立方程，即可求直线L₂的方程；
（2）利用圆P的半径为1，△OPA的面积为1，求出P的坐标，利用点到直线的距离等于半径，即可求L₂的方程．

解答： 解：（1）设A（x，y），B（m，km），则
∵|OB|=5|BA|，∴

OA

=

1

4

OB

或

OA

=

6

5

OB

．

OA

=

1

4

OB

时，由（x，y）=

1

4

（m，km），可得A（

m

4

，

km

4

），∴k•

m- m 4

m- km 4

=-1，∴k=-2（舍去）；

OA

=

6

5

OB

时，由（x，y）=

6

5

（m，km），可得A(

6m

5

，

6km

5

)，∴k•

6m 5 -m

6km 5 -m

=-1，∴k=

5

7

，
∴直线L₂的方程为y=

5

7

x；
（2）∵圆P的半径为1，△OPA的面积为1，
∴|OA|=2，|OP|=

5

，
∴P(

10

2

，

10

2

)，
∴

| 10 2 k- 10 2 |

k2+1

=1，
∴3k²-10k+3=0，
∴k=3或k=

1

3

，
∴直线L₂的方程为y=3x或y=

1

3

x．

点评：本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．