Question

已知点A（-1，0），B（1，0）及抛物线y²=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），则y²=2x，由题意可得，x＞0时，m²=

|PA|2

|PB|2

=

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

x2+1+4x

x2+1

=1+

4

x+ 1 x

，利用基本不等式可得结论．

解答： 解：设P（x，y），则y²=2x，
由题意可得，x＞0时，m²=

|PA|2

|PB|2

=

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

x2+1+4x

x2+1

=1+

4

x+ 1 x

，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2
∴1+

4

x+ 1 x

≤3，∴m≤

3

，当且仅当x=1时，等号成立；
x=0时，m=1，
∴m的最大值为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，属于中档题．