Question

等比数列{a_n}的首项为a₁=2020，公比q=-

1

2

．设f（n）表示该数列的前n项的积，则当n=

 

时，f（n）有最大值．

Answer 1

考点：等比数列的前n项和,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：根据等比数列的通项公式，求出f（n），然后即可得到结论．

解答： 解：∵等比数列{a_n}的首项为a₁=2020，公比q=-

1

2

．
∴a_n=a₁q^n-1=2020(-

1

2

)n-1=

2020

2048

•(-1)n-1•212-n．
当n为奇数时a_n＞0，
当n为偶数时，a_n＜0．

f(n)

f(n-1)

=

a1a2???an

a1a2???an-1

=an=

2020

2048

•(-1)n-1•212-n．
则|

f(n)

f(n-1)

|=

2020

2048

•212-n，
当n≤11时，|

f(n)

f(n-1)

|＞1，此时|f（n）|单调递增，
当n≥12时，|

f(n)

f(n-1)

|＜1，此时|f（n）|单调递减，
当n=11时，f（11）＜0，
当n=12时，f（12）＞0，
∴当n=12时，f（n）有最大值．
故答案为：12．

点评：本题主要考查等比数列通项公式的应用，利用条件判断|

f(n)

f(n-1)

|的单调性是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．