Question

已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，n分别取1，2，3，4，代入计算，即可得出结论；
（2）由S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，再写一式，两式相减，可得数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，
∴S₁=

1

2

a₁²+

1

2

a₁，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
又S₂=

1

2

a₂²+

1

2

a₂，a₂＞0，∴a₂=2，
同理可得a₃=3，a₄=4；
（2）∵S_n=

1

2

a_n²+

1

2

a_n，
∴n≥2时，S_n-1=

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1，
两式相减可得a_n=（

1

2

a_n²+

1

2

a_n）-（

1

2

a_n-1²+

1

2

a_n-1），
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=n．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查等差数列的证明，证明数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列是关键．