Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≤0}\\{\frac{4}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）+x-m不存在零点，则实数m的取值范围是（2，4）．

Answer 1

分析 根据函数与方程的关系，将函数进行转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当x≤0时，g（x）=f（x）+x-m=2+x-m，
由g（x）=f（x）+x-m=2+x-m=0，得m=x+2，
当x＞0时，（x）=f（x）+x-m=$\frac{4}{x}$+x-m，
由g（x）=f（x）+x-m=$\frac{4}{x}$+x-m=0，得m=$\frac{4}{x}$+x，
设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+2，}&{x≤0}\\{x+\frac{4}{x}，}&{x＞0}\end{array}\right.$，
作出函数h（x）的图象如图：
若m=h（x）没有解，
则2＜m＜4，
即若函数g（x）=f（x）+x-m不存在零点，则实数m的取值范围是（2，4），
故答案为：（2，4）

点评 本题主要考查函数零点的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数的相交问题是解决本题的关键．