Question

12．设Sn是整数组成的数列{a_n}的前n项和，且$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2（n∈N^*），又数列{b_n}是a₁为首项，公比为a₂-a₁的等比数列．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+$\frac{24}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的最小项．

Answer 1

分析 （1）运用n=1时，S₁=a₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2+2（n-1）=2n，再由等比数列的通项公式，即可得到b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）求得c_n=a_n+$\frac{24}{{b}_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，再作差，可得c_n+1-c_n=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$，解不等式可得数列{c_n}的单调性，进而得到最小值．

解答 解：（1）由$\frac{4{S}_{n}}{{a}_{n}}$=a_n+2，可得n=1时，4S₁=a₁（a₁+2）=4a₁，
解得a₁=2；
由4S_n=a_n²+2a_n，可得4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1，n＞1．
两式相减可得，4a_n=a_n²+2a_n-a_n-1²-2a_n-1，
即为（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=2（a_n+a_n-1），
由题意可得a_n-a_n-1=2，
即有a_n=2+2（n-1）=2n，
数列{b_n}是a₁为首项，公比为a₂-a₁的等比数列，
可得b_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）c_n=a_n+$\frac{24}{{b}_{n}}$=2n+$\frac{24}{{2}^{n}}$，
由c_n+1-c_n=2n+2+$\frac{24}{{2}^{n+1}}$-2n-$\frac{24}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{12}{{2}^{n}}$，
当n=1，2时，c_n+1-c_n＜0；
当n≥3时，c_n+1-c_n＞0．
即有c₁＞c₂＞c₃＜c₄＜c₅＜…，
可得c₃取得最小值，且为6+$\frac{24}{8}$=9．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用下标变换相减法，考查等比数列的通项公式，同时考查数列的单调性的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．