Question

15．已知等比数列{a_n}中，a₁=1，公比q=$\frac{2}{3}$．
（1）S_n为{a_n}的前n项和，证明：S_n=3-2a_n；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的前n项和公式即可证明；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：S_n=$\frac{1-{a}_{n}×\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}$=3-2a_n；
（2）解：${a}_{n}=（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
b_n=na_n=$n（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=1+2×$\frac{2}{3}$+3×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$n（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{2}{3}+2×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n-1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}$+$n×（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=1+$\frac{2}{3}$+$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}$-$n×（\frac{2}{3}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}$-$n×（\frac{2}{3}）^{n}$=3-（3+n）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴T_n=9-（9+3n）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．